Հանրահաշիվ 15/5/2023

Հավասարումների համակարգը լուծելուց հետո տեղադրիր x-ի և y-ի արժեքները համակարգում և կատարիր ստուգում։

-1- x=23/7 y=-6/7

-2-x=1,4 y=2,2

-3-x=39/28 y=1/28

-4-

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-

-10-

ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ԵՌԱՆԴԱՄ

ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ԵՌԱՆԴԱՄ

ax²+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a-ն, b-ն և c-ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

Օրինակ՝ 3x²+10x-15, x²-13x+1, -2x²+4x, 2x²-18, 25x², -x² բազմանդամները քառակուսային եռանդամների օրինակներ են:

a թիվը անվանում են ավագ անդամի՝ x²-ու գործակից, b թիվը՝ միջին կամ x-ի գործակից, c-ն՝ ազատ անդամ:

Լրիվ կոչվում է այնպիսի քառակուսային եռանդամը, որի բոլոր գործակիցները տարբեր են 0-ից։

Թերի կոչվում է այն քառակուսային եռանդամը, որտեղ b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ x-ը անկախ փոփոխական է իսկ a-ն, b-ն և c-ն գործակիցներ և a≠0, անվանում են քառակուսային կամ քառակուսի հավասարում, x փոփոխականի այն արժեքները որոնց դեքում քառակուսային հավասարումը ունի լուծում կանվանենք արմատներ:

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c քառակուսային եռանդամի տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

Եթե D>0, ապա քառակուսային հավասարումը ունի երկու իրարից տարբեր արմատներ և վերլուծվում է երկու իրարից տարբեր գծային արտադրիչների:

Եթե D=0, ապա քառակուսային հավասարումը ունի մեկ արմատ, իսկ քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է երկու իրար հավասար գծային արտադրիչների:

Եթե D<0, ապա քառակուսային հավասարումը չունի արմատ թվերի իրական բազմությանը պատկանող, իսկ քառակուսային եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների:

ax²+bx+c քառակուսային հավասարման արմատները հաշվում են հետևյալ բանաձևերով՝ (որտեղ D=b²−4ac):

x₁=(−b+√D)/2a

x₂=(-b−√D)/2a

D=b²−4ac

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

1)

ա) 3x² + 4x + 5

a=3   b=4     c=5

բ) 2x² — 5x — 7

a=2    b=-5   c=-7

2)

ա) 2x² + 5x + 3

D=b² — 4ac

D=5² — 4 * 2 * 3 = 1

բ) 2x² — 5x + 3

D=5² — 4 * 2 * 3 = 1

գ) 2x² + 5x — 3

D=5² — 4 * 2 * =49

4)

ա) 6x² + x — 2

a=6   b=1   c=-2

բ) x² — x + 7

a=1   b=-1   c=7

գ) -5x² + 3x — 1

a=-5    b=3   c=-1

դ) -x² + x + 1

a=-1   b=1   c=1

5)

Քառակուսի արմատ պարունակող պարզագույն հավասարումներ

Մի հավասարման փոխարինումը իրեն համարժեք հավասարմով անվանում են հավասարման համարժեք ձևափոխություն:

Եթե հավասարման լուծման ընթացքում կատարված է հավասարման համարժեք ձևափոխություն, ապա ձևափոխված հավասարման արմատների բազմությունը համընկնում է սկզբնական հավասարման արմատների բազմությանը:

Հաշվի առնելով վերը ասվածը՝ քննարկենք հավասարումներ, որոնց մեջ անհայտը գտնվում է արմատանշանի տակ: Այդպիսի հավասարումներն անվանում են իռացիոնալ հավասարումներ:

Պարզագույն իռացիոնալ հավասարումն ունի 

տեսքը, որտեղ a-ն տրված իրական թիվ է:

Այս երկրորդ դեպում իռացիոնալ հավասարման երկու կողմերը կարող ենք բարձրացնել քառակուսի:

Այս դեպքում իռացիոնալ հավասարումը փոխարինվում է այլ հավասարումով:

Հավասարման փոխարինումը ուրիշ հավասարումով, որը առաջինի հետևանքն է, անվանում են անցում հետևանք-հավասարման: Հետևանք հավասարմանն անցնելու ընթացքում հնարավոր է այնպիսի արմատների ի հայտ գալն, որոնք սկզբնական հավասարման արմատներ չեն, այսինքն՝ հնարավոր է տվյալ հավասարման համար կողմնակի արմատների առաջացում: Այսինքն նման սխալներից խուսափելու համար, անհրաժեշտ է ստուգել, արդյո՞ք ստացված արմատը սկզբնական հավասարման արմատ է, թե՝ ոչ:

Ընդունված է հավասարման թույլատրելի արժեքների բազմություն (ԹԱԲ) անվանել անհայտի այն արժեքների բազմությունը, որոնց համար հավասարման ձախ և աջ մասերը միաժամանակ իմաստ ունեն:

Լրացուցիչ(տանը)

3) Լուծեք հավասարումը.

ա. √x=3   x=9  x≥0

բ. √x=0  x=0 x≥0

գ.  √x=-1

դ. √2x=1   x=0,5 x≥0

ե.  √4x-1=1    x=0,5 x≥0

զ. √x+2=1

է.√3x-8=6  x=44/3  x≥0

ը.√1+5x=7      x=48/5  x≥0

թ. √x-3 -2=0        x=7  x≥0

4) Լուծեք հավասարումը.

Թվաբանական քառակուսի արմատ: Կրկնողություն

1. Գտի՛ր քառակուսի արմատի արժեքը.

1)3
2)4
3)5
4)7
5)8
6)11
7)15
8)17
9)19
10)24
11)26
12)22
13)27
14)31
15)1/2
16)2/3
17)4/5
18)1/6
19)4/3
20)3/2
21)7/4
22)11/7
23)11/6
24)3 7/8
25)29/9
26)32/11
27)0.1
28)0.3
29)0.4
30)0.6
31)1.2
32)0.17
33)39/2
34)8/5
35)16/5
36)0.09
37)0.27

2. Առանց հաշվիչի օգնության առանձնացրո՛ւ լրիվ քառակուսի, արմատ հանի՛ր.

1)28
2)29
3)35
4)37
5)43
6)49
7)56
8)68

3. Քառակուսային արմատ հանի՛ր հետևյալ թվերից.

1. 7/9
   2. 5/8
2. 5/3
3. 9/4
4. 16/53
5. 37/45
6. 21/132
7. 24/213
8. 47/2
9. 170/3
10. 314/3
11. 137/5
12. 7/10
13. 9/10
14. 17/69
15. 19/79
16. 0,67

4. Գտի՛ր արմատի արժեքը.

5. Արտադրիչը հանի՛ր արմատանշանի տակից.

Թվաբանական քառակուսի արմատ

Տեսական նյութ

Տված b ոչ բացասական թվից թվաբանական քառակուսի արմատ կոչվում է այն ոչ բացասական թիվը, որի քառակուսին հավասար է b-ի:

Այդ թիվը նշանակում են √b-ով և կարդում՝ «թվաբանական քառակուսի արմատ b թվից»:

Օրինակ՝ √0=0, √49=7, √16=4:

Յուրաքանչյուր ոչ բացասական b թվի համար գոյություն ունի միակ թվաբանական քառակուսի արմատ:

Հատկություն 1. b1 և b2 ոչ բացասական թվեր են, եթե b₁<b₂ => √b₁<√b₂:

Հատկություն 2. b₁ և b₂ ոչ բացասական թվեր են, եթե b₁= b₂ => √b₁=√b₂:

Հիշեցում: Քառակուսի արմատ տված թվից անվանում են այն թիվը, որի քառակուսին հավասար է տված թվին:

Ասվածից հետևում է, որ՝
1) գոյություն ունի, և այն էլ, երկու, քառակուսի արմատ ցանկացած
b դրական թվից: Նրանք բացարձակ արժեքով իրար հավասար են և ունեն տարբեր նշաններ:
2) 0-ի քառակուսի արմատը միակն է, այն հավասար է զրոյի:
3) Գոյություն չունի իրական թիվ, որը հանդիսանում է քառակուսի արմատ բացասական թվից, այսինքն գոյություն չունի իրական թիվ, որի քառակուսին բացասական թիվ է:

Օրինակ՝
17-ը և -17-ը 289-ի քառակուսի արմատներն են, որովհետև 17² =(-17)² =289:
Օրինակ՝ գոյություն չունի -4-ից իրական քառակուսի արմատներ:

Լրացուցիչ առաջադրանքներ (տանը)

3) Հաշվեք՝

ա) 2*√81=2*9=18

բ) 1/3*√100=1/3*10=10/3

գ) √4*√0.25=2*0.5=1

դ) √0.16*√9=0.4*3=1.2

ե) √0.27:√3=√0.09=√9/100=3/10

զ) √49:√0.01=7*√0.01=7/√1/100=7/1/10=70

է) √1/9*√81=1/3*9=3

ը) √0.36:√1/36=√9/25:1/6=3/5*6=18/5

թ) √1/69:√0.0625=√1/69:√1/16=√1/69*√16=√16/69=4/69

4) Համեմատեք թվերը՝

ա) √100 և √81
√100=10
√81=9
10 > 9

բ) √100 և √121
√100=10
√121=11
10 < 11

գ) √4 և 3
√4=2
2<3

դ) 1/5 և √0.25
√0.25=0.5
1/5=0.2
0.2 < 0.5

ե) 2 և √1/16
√1/16=1/4=0.25
2 > 0.25

զ) 9/5 և √4/19
√4/49=2/7
9/5>2/7

է) √0.09 և √4/25
√0.09=0.3
√4/25=2/5
2/5=0.4
0.3 < 0.4

ը) √2.1/4 և √64/49
√2.1/4=√9/4=3/2
√64/49=8/7
3/2 < 8/7

թ) √1/4 և 1/4
√1/4=1/2
1/2 > 1/4

5) Հաշվեք՝

ա) (√2)² = 2
բ) (√3)² = 3
գ) (√13)² = 13
դ) (√17)² = 17

Խնդիրներ կրկնողության համար

Լուծի՛ր խնդիրներն անպայման համակարգերի միջոցով՝ ներմուծելով x և y փոփոխականները.

1) Դպրոցականները էքսկուրսիա գնացին: Նրանք վերադարձան այլ ճանապարհով, որ 7 կմ-ով կարճ էր առաջինից: Որքա՞ն է յուրաքանչյուր ճանապարհի երկարությունը, եթե դպրոցականներն ընդամենը անցան 41 կմ:

Պատ․՝x=24կմ y=17կմ

2) Դպրոցը ձեռք բերեց 4 բազկաթոռ և 2 սեղան, դրանց համար վճարելով 36 000 դրամ: Եթե գնվեր 2 բազկաթոռ և 3 սեղան, ամբողջ գնումը 14 000 դրամ-ով պակաս կլիներ: Առանձին-առանձին որքա՞ն  արժեն բազկաթոռը և սեղանը:

Պատ․՝x=8000դրամ y=2000դրամ

Պատ․՝x=280 y=148

Պատ․՝2x=38 x=19

Պատ․՝x=27

Պատ․՝x=29 y=17

Պատ․՝x=36 y=48

Պատ․՝x=19 y=57

Պատ․՝x=92 y=23

Խնդիրներ քննարկման համար

1.  Էլեկտրական ժամատախտակը ցույց է տալիս ժամը, րոպեները և վայրկանները, ինչպես, օրինակ՝ 19:30:00 : Հոսանքի տատանման պատճառով ժամատախտակի որոշ թվանշաններ անջատվեցին և մնացին միայն 2; 0; 2; 3  թվանշանները ճիշտ նույն հերթականությամբ: Որոշեք ամենաուշ ժամը, երբ դա կարող էր տեղի ունենալ:

Պատ․՝23;50;23

2. Մեկ ուղղաթիռը կարող է բարձրացնել մի զամբյուղ, որում պարունակվող բեռի զանգվածը 80 կգ-ից չի անցնում: Մեկ այլ ուղղաթիռ, որի հզորությունը երկու անգամ ավելի է առաջինից կարող է բարձրացնել այդ նույն զամբյուղը, եթե դրանում պարունակվող բեռի զանգվածը չի գերազանցում 180 կգ-ը:Որքա՞ն է զամբյուղի զանգվածը:
Պատ․՝ 20կգ

3. Հրանդի ընկերներից յուրաքանչյուրը գումարեց իր ծննդյան օրվա և ամսվան համապատասխան թվերը՝ արդյունքում ստացան 35։ Նրանց բոլորի ծննդյան օրերը տարբեր թվեր են։ Առավելագույնը քանի՞ ընկեր կարող է ունենալ Հրանդը։
Պատ․՝ 7 ընկեր

4. Վահագնը, Միքաելը և Ռուբենն ապրում ենք երեք տարբեր տներում, որոնց համարներն են՝ abc եռանիշ թիվը, bc երկնիշ թիվը, և c միանիշ թիվը, որտեղ a-ն, b-ն և c-ն երեք տարբեր թվանշաններ են։  Հայտնի է, որ դրանց գումարը 912 է: Գտեք b-ն:
Պատ․՝ b=50

5. Վռամենց փողոցում կա 17 տուն։ Վռամն ապրում է փողոցի՝ զույգ համարակալումով մայթի վերջին տանը, և նրա տան համարը 12- ն է։ Ռազմիկն ապրում է կենտ համարակալումով մայթի վերջին տանը։ Ո՞րն է նրա տան համարը, եթե տները համարակալել սկսել են 1-ից:
Պատ․՝ 5

6. Սպիտակ լիցքավորիչի օգնությամբ հեռախոսը լիցքավորվում է 1 ժամ  20 րոպեում, իսկ սև լիցքավորիչով՝ 4 ժամում: Նորայրի հեռախոսի լիցքավորումն ամբողջությամբ սպառված էր. նա հեռախոսը միացրեց սև լիցքավորիչով, իսկ երբ արդեն գտավ սպիտակ լիցքավորիչը դա միացրեց: Քանի՞ րոպեում լիցքավորվեց Նորայրի հեռախոսը, եթե սպիտակ սարքով միացված է եղել ընդհանուր ժամանակի միայն երրորդ մասը: 
Պատ․՝ 2 ժամ 40 րոպե

7. Գրեք այնպիսի վեցանիշ թիվ, որի առաջին թվանշանը 6 անգամ փոքր է հաջորդող 5 թվանշանների գումարից, ինչպես նաև երկրորդ թվանշանը 6 անգամ փոքր է հաջորդող 4 թվանշանների գումարից:

Պատ․՝769999

8. Գնդակները պարկերի մեջ դասավորելիս նկատեցին, որ եթե ամեն պարկի մեջ 28 գնդակ դնենք 24 գնդակ կավելանա, իսկ եթե 32 գնդակ դնենք,  20 գնդակ կպակասի։ Քանի՞ պարկի մեջ քանի՞ գնդակ պետք է տեղավորել։

Պատ․՝12պարկ

9. Գոհարը թղթի վրա գծում է 2 սմ երկարությամբ DE հատվածը։ Հարթության վրա քանի՞ տարբեր F կետ նա կարող է նշել այնպես, որ DEF եռանկյունը լինի ուղղանկյուն եռանկյուն, և նրա մակերեսը հավասար լինի 1 սմ^2։

10. Դիցուք տրված է ABC հավասարակողմ եռանկյունը:  AB կողմի վրա գտնվում է K կետը, իսկ  BC կողմի վրա՝  L և M կետերը, ընդ որում L կետը  պատկանում է BM հատվածին: Գտի՛ր CM հատվածի երկարությունը, եթե   KL=KM, BL=2, AK=3։

11. Նշված  40612027001 թվից  հինգ  թվանշան ջնջեք այնպես, որ ստացված վեցանիշ թիվը լինի ամենափոքրը։

Պատ․՝120001

12. Քանի՞ զրոյով է ավարտվում 1x2x3x4x…x37 արտադրյալը։

13. Մետաղալարը, որի երկարությունը 456մ  է, բաժանեցին երեք մասի։ Առաջին մասը 4 անգամ երկար էր երրորդ մասից, իսկ երկրորդը՝ 114 մ-ով երկար էր երրորդից։ Գտեք ամենակարճ մետաղալարի երկարությունը։

Պատ․՝4x+x+114+x=456մ
6x=342մ
x=57մ

14․ Արմանի և Արամի տարիքների գումարը երկու տարի առաջ հավասար էր 15-ի։ Այսօր Արմանը 13 տարեկան է։ Քանի՞ տարի հետո Արամը կլինի 9 տարեկան։
Պատ․՝ 3 տարի

15. Մանեն ամեն օր գնում է զբոսնելու, չի գնում միայն այն օրերին, եթե և՛ ձյուն է, և՛ քամի։ Դեկտեմբեր ամսին 13 օր արևային եղանակ էր և առանց քամի։ 12օր ձյուն է տեղացել և 11օր եղել է քամի։ Դեկտեմբեր ամսին Մանեն քանի՞ օր մնաց տանը։
Պատ․՝ 5

16. Երկուշաբթի առավոտյան ջրհորում կար 1000 լիտր ջուր։Ամեն օր Արմանը ջրհորից հանում էր 600լ ջուր, իսկ գիշերը ջրհորում ջուրը ավելանում էր առավոտյան եղած ջրի կեսի չափով։ Հինգշաբթի օրը առավոտյան քանի՞ լիտր ջուր կլինի։
Պատ․՝ 525

17. Նկարում պատկերված է նկարի շրջանակ, որը կազմված է 4 հատ իրար հավասար տախտակներից։ Ամեն մի տախտակի լայնությունը 6սմ, իսկ պարագիծը ՝ 72 սմ:  Գտեք մոխրագույն ուղղանկյան չափերը։

18. Ամիրյանի վեց որդիներից յուրաքանչյուրը նախորդից 4 տարով  մեծ է, իսկ ավագը կրտսերից ՝ 3 անգամ։ Գտեք ավագ որդու տարիքը։
10

19. Ջրավազանը նեղ խողովակով լցվում է 10 ժամում է, իսկ լայնով ՝ 4 ժամում։ 3 ժամում լայն խողովակո՞վ է ավելի շատ ջուր անցնում, թե ՞ 8  ժամում՝ նեղ խողովակով։
3 ժամում լայն խողովակով

20. Գտեք 1+2+3+…+2023 գումարի և 2023-ի քանորդը։ 

Հանրահաշիվ 20/19/2022

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Բարձացրեք քառակուսի.

1. (a-b)2=a²-2ab+b²

2. (x-4)2 =2x-8x+16

3. (1-m)2=m²-2m+1

4. (6-p)2=p²-12p+36

5. (2a-3)2=4a²-12a+9

6. (4x-2y)2=16x²-16xy+4y²

7. (a-b2)2=a²-4ab+4b²

8. (x3-y)2=9x²-6xy+y²

9. (m3-n2)2=9m²-12m+4n²

10. (a3-2b)2=9a²-12ab+4b²

2) Օգտագործելով տարբերության քառակուսու բանաձևը՝ հաշվեք.

ա) 59²=(60-1)2=3600-120+1=3481

բ) 89²=7921

գ) 199²=39601

դ) 198²=39204

3) Բազմանդամը ներկայացրեք տարբերության քառակուսու տեսքով.

ա) a²-2ab+b²=(a-b)²

բ) 4x²-4xy+y²=(2x-y)²

գ) 9m²-6m+1=(3m-1)²

դ) 25-30c+9c²=(5-3c)²

Հանրահաշիվ 19/12/2022

1) Բարձրացրեք քառակուսի.

1. (m+a)2=m2+2ma+a2

2. (2+b)2=2²+2b²+b²=b²+4b+4

3. (2x+5)2=4x²+20x+25

5. (x+2)2=x²+4x+4

4. (z+t)2=z²+2tz+t²

6. (a2+1)2=a⁴+2a²+1

7. (c+1)2=c²+2c+1

2)  Հաշվեք՝ կիրառելով գումարի քառակուսու բանաձևը.

ա) 512=(50+1)2=502+2501+12=2601       գ) 212=441

բ)  712 =5041      դ) 1022=10404:

3) Բարձրացրեք քառակուսի.

1.  (x+y2)2=x²+2xy²+y⁴

2. (1+a3)2=a⁶+2a³+1

3. (x+9)2=x²+18x+81

4. (x11+y10)2=x²²+2x¹¹y¹⁰+y²⁰

5. (3+6y)2=36y²+36y+9

6. (b+2a)2=b²+4ab+4a²

7. (k+6p)2=k²+12kp+36p²

8. (a3x+x2a)2=a⁶x²+2a⁴x³+a²x⁴

4) Բազամանդամը ներկայացրեք գումարի քառակուսու տեսքով.

(x+y)²

(a+2b)²

(3m+n)²

(4p+5q)²

(x+1)²

(3+a)²

(4+p)²

(2m+3n)²

(x2+y3)²

((a+b)(a²-ab+b²))²

Խնդիրների լուծում առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգերի օգնությամբ

Տեսական մաս

Օրինակ (հնագույն) Հանդիպեցին երկու հովիվ՝ Հովհաննեսը և Պետրոսը: Հովհաննեսն ասում է Պետրոսին. «Տուր ինձ մի ոչխար, և ինձ մոտ կլինի երկու անգամ ավելի ոչխար, քան քեզ մոտ»: Իսկ Պետրոսը նրան պատասխանում է. «Ոչ, ավելի լավ է դու տուր ինձ մի ոչխար, և մեզ մոտ կլինեն հավասար թվով ոչխարներ»: Քանի՞ ոչխար ուներ նրանցից յուրաքանչյուրը:

Լուծում: Դիցուք Հովհաննեսն ուներ x ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ y ոչխար: Եթե Պետրոսը Հովհաննեսին տուր մեկ ոչխար, ապա Պետրոսի մոտ կմնար (y-1) ոչխար, իսկ Հովհաննեսի մոտ կլիներ (x+1) ոչխար:

Բայց այդ դեպքում Հովհաննեսի մոտ երկու անգամ շատ ոչխար կլիներ, քան Պետրոսի մոտ: Հետևաբար

                                        x+1=2(y-1):

Իսկ եթե Հովհաննեսը Պետրոսին մեկ ոչխար տար, ապա Հովհաննեսի մոտ կմնար (x-1) ոչխար, իսկ Պետրոսի մոտ կդառնար (y+1) ոչխար: Բայց այդ դեպքում նրանք կունենային հավասար թվով ոչխարներ: Հետևաբար

                                      x-1=y+1:

Այս երկու հավասարումներից կազմենք համակարգ՝

Համակարգն էլ լուծելով մեզ արդեն ծանոթ տեղադրման կամ գումարման եղանակով՝ կստանանք, որ x=7; y=5: Այսպիսով, Հովհաննեսն ունի 7 ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ 5 ոչխար:

Տե՛ս նաև տեսանյութը.

Լրացուցիչ(տանը)

4) ա) Մի թիվը 6-ով մեծ է մյուսից: Այդ թվերի գումարը հավասար է 40-ի: Գտեք այդ թվերը:

x=23

y=17

բ) Մի թիվը 15-ով փոքր է մյուսից: Գտեք այդ թվերը, եթե նրանց գումարը 23 է:

x=4

y=19

5) Մի թիվը 7-ով մեծ է մյուսից: Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը՝ 6 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 31: Գտեք այդ թվերը:

6) Մի հերթափոխում նոր խառատային հաստոցով 30 դետալ ավելի է մշակվում, քան հին հաստոցով: Ընդ որում մի հերթափոխում հինգ նոր հաստոցներով կարելի է մշակել այնքան դետալ, որքան ութ հին հաստոցներով: Որքա՞ն դետալ է մշակվում նոր հաստոցով:

y = x + 30

5y = 8x

5 * (x + 30) = 8x

5x + 150 = 8x

5x – 8x = -150 – 3x = -150

x = 50