Տեսական նյութ
Երկրաչափական պատկերների հատկություններն ուսումնասիրելիս մենք ապացուցել ենք մի շարք թեորեմներ: Այդ ընթացքում, որպես կանոն, մենք հենվել ենք արդեն նախապես ապացուցված թեորեմների վրա:
Հարց է ծագում, իսկ ինչի՞ հիման վրա են ապացուցվել երկրաչափության սկզբնական թեորեմները, ի վերջո, ո՞րն է այդ թեորեմների ելակետը: Այս հարցերն ունեն այսպիսի պատասխան. երկրաչափական պատկերների հատկությունների մասին որոշ պնդումներ համարվում են որպես սկզբնական դրույթներ: Դրանք ընդունվում են առանց ապացուցման, որոնց հիման վրա էլ այնուհետև ապացուցվում են թեորեմները: Այդ հիմքով էլ, ընդհանրապես, կառուցվում է ամբողջ երկրաչափությունը: Այդպիսի ելակետային դրույթներն անվանում են աքսիոմներ:
Աքսիոմի օրինակ է այն պնդումը, ըստ որի՝ ցանկացած երկու կետով անցնում է ուղիղ, ընդ որում՝ միայն մեկը:
Աքսիոմ բառը ծագել է հունական աքսիոս բառից, որը նշանակում է արժեքավոր, արժանի:
Զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը
Տրված ուղղի վրա չգտնվող կետով անցնում է այդ ուղղին զուգահեռ միայն մեկ ուղիղ:
Որոշ պնդումներ աքսիոմներից կամ թեորեմներից բխում են անմիաջականորեն: Ընդունված է դրանց անվանել հետևանքներ: Դիտարկենք զուգահեռ ուղիղների աքսիոմի մի քանի հետևանք:
Հետևանք 1.
Եթե ուղիղը հատում է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը, ապա այն հատում է նաև մյուսը: Ապացույցը՝ ինքնուրույն:
Հետևանք 2.
Եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են երրորդ ուղղին, ապա դրանք զուգահեռ են:
Ապացույցը՝ ինքնուրույն:
Առաջադրանքներ(դասարանում)
1) Տրված է ABC եռանկյունը: C գագաթով AB կողմին զուգահեռ քանի՞ ուղիղ կարելի է տանել:Պատասխան․՝1
2) p ուղղի վրա չգտնվող կետով տարված է չորս ուղիղ: Այդ ուղիղներից քանի՞սն է հատում p ուղիղը: Դիտարկենք բոլոր հնարավոր դեպքերը:Պատասխան․՝ 4,3,2,1,0
3) Նկարում AD|| p և PQ || BC: Ապացուցեք, որ p ուղիղը հատում է AB, AE, AC, BC և PQ ուղիղները:
Եթե PQ հատում է AD, իսկ AD և p զուգահեռ են հետևաբար PQ հատում է նաև p:
Եթե PQ հատում է p,իսկ BC զուգահեռ է PQ հետևաբար BC հատում է p:
Քանի, որ p կարող է զուգահեռ լինել A կետից առաջացած միայն մեկ ուղիղ հետևաբար բոլոր մյուս ուղիղները՝ AB,AE,AC հատվելու են p:
Լրացուցիչ(տանը)
4) a և b ուղիղները ուղղահայաց են p ուղղին, իսկ c ուղիղը հատում է a ուղիղը: c ուղիղը հատու՞մ է, արդյոք, p ուղիղը:
Պատասխան՝ հատում է
5) p ուղիղը զուգահեռ է ABC եռանկյան AB կողմին: Ապացուցեք, որ BC և AC ուղիղները հատում են p ուղիղը:
Քանի, որ BC և AC հատվում են AB հետ, իսկ AB և p զուգահեռ են, հետևաբար BC և AC հատվում են նաև p հետ։
6) Էվկլիդեսյան երկրաչափության, Լոբաչևսկու մասին տեղեկություններ:
Էվկլիդեսյան երկրաչափություն
Լոբաչևսկու
Նիկոլայ Լոբաչևսկին 1807–11 թթ-ին ուսանել և ապա դասավանդել է Կազանի համալսարանում, որտեղ և 1816 թ-ին ստացել է պրոֆեսորի կոչում: 1820–22 թթ-ին նա եղել է այդ համալսարանի ֆիզիկամաթեմատիկական ֆակուլտետի դեկան, 1827–46 թթ-ին՝ ռեկտոր:
1830 թ-ին Լոբաչևսկին հրատարակել է իր ստեղծած նոր երկրաչափության հիմունքները, որոնք թեև սկզբում չընդուվեցին, բայց հետագայում մեծ ազդեցություն ունեցան XIX դարի մաթեմատիկական մտածողության վրա:
Լոբաչևսկին աշխատանքներ ունի հանրահաշվի, մաթեմատիկական անալիզի, հավանականությունների տեսության, մեխանիկայի, ֆիզիկայի, աստաղագիտության վերաբերյալ:
Հովհաննիսյան Դավիթ 